作者 | 代欽

原載 | 《數學通報》2007年第46卷第6期

來源 | 和樂數學

前言

數學家關心數學教育，雖然是零星的，但是有悠久的歷史了。20 世紀初，德國數學家克萊茵倡導以「函數為綱」的數學教育改革運動、英國數學家貝利制定了實用數學教學大綱、法國數學家阿達瑪和勒貝格等編寫數學教科書、美國數學家摩爾提倡混合數學、日本數學家小平邦彥和廣中平佑在 60 年代對「新數運動」的批判、我國的華羅庚等數學家對數學教育的關心等無不說明數學家與數學教育的密切關係。由於數學家的特殊地位，這些事實對數學教育的發展起了不同程度的影響，有的甚至起到了關鍵作用。

近年來，在我國也有不少數學家關心或參與數學教育改革、數學課程標準的制定工作，例如，張景中院士的「從數學教育到教育數學」、王梓坤院士和徐利治教授的「MM 教育方式」（「TEC 教育方式」）的倡導、他們對數學教育的關心令數學教育工作者歡欣鼓舞。數學家對數學教育的關心和參與的原因可能是很複雜的，有各方面的理由。數學家「由於對低一級學校的訓練不足、高等課程選修人數的下降、中小學數學課程變質的潛在可能性以及國家地位的受威脅等問題的關注，不時地推動著數學家們去考察中小學的所作所為，和考慮它們可以怎樣地改進。

關於數學是怎樣地被創造出來的這個問題的好奇心，也不時地引導數學家們對他們自己的思考過程進行回顧，並企圖把那種思考過程教給別人。一些數學家在觀察了他們的兒輩或孫輩的數學思維結果之後，受到鼓舞去對那種思維作出詳細的分析，或對它們的改進訂出計劃。」（[美] D.A.格勞斯主編：《數學教與學研究手冊》，上海教育出版社，1999 年）在本文中將要論述日本數學家小平邦彥從自己女兒在美國的中學學習的經歷、數學的發展和數學結構等特點和數學與日本國家命運之間的關係等方面來關注數學教育，以及他與日本數學教育家之間的激烈爭論。

小平邦彥

小平邦彥

小平邦彥，1915 年 3 月出生於日本長野縣，1938 年畢業於東京大學數學科，1941 年畢業於東京大學物理科。先後任東京文理科大學副教授、東京大學副教授、教授。1949 年獲得理學博士學位，同年被美國著名數學家外爾邀請到普林斯頓高等研究院工作，先後被聘請為普林斯頓大學、哈佛大學、約翰霍普金斯大學、史丹福大學等大學的教授。

當時他雖然辭去東京大學教授職務，但是 1967 年回國後又被聘為東京大學教授。1965 年當選日本學士院會員，先後獲日本學士賞（1957）、文化勳章（1957）、藤原賞（1975）。此外，他被選為哥廷根科學院和美國國家科學院的外籍院士、美國藝術科學院外籍名譽會員。1975 年退休後，任學習院大學的教授。小平邦彥在代數幾何學、分析學、拓撲學、代數學等多個領域都取得了卓越成就，並於 1954 年，在荷蘭阿姆斯特丹舉行的第 12 屆世界數學家大會上被授予第三屆菲爾茲獎。

著名數學家外爾頒獎時評價小平邦彥說：「小平先生，你所做的工作，與我從年輕時就想做的工作密切相關，但是你的工作比起我所夢想的要漂亮得多。自從 1949 年你來到普林斯頓之後，看到你的數學研究的發展，是我一生中最高興的事。」（《日本數學100年史》編輯委員會編：《日本數學100年史》。東京：岩波書店，1984年。）1985 年，小平邦彥由於對代數幾何做出傑出貢獻而獲得沃爾夫獎。

作為世界著名數學家的小平邦彥格外關心數學教育的發展，從 1968 年開始通過在學術雜誌上發表文章、電視討論或辯論等各種形式闡述了自己的關於數學教育的觀點，引起了當時的日本數學教育界的廣泛關注，同時也引起了數學家和數學教育家之間圍繞數學教育現代化這個問題的激烈爭論。後來小平邦彥的言論和文章收錄在他的文選《懶惰的數學家的書》（岩波書店，2000 年）（編者註：中譯本《惰者集》，人民郵電出版社，2017）、《我只會算術》（岩波書店，2002 年）中。

另外，小平邦彥還出版了與初等數學教育有關著作《幾何的樂趣》（岩波書店，1985）、《數學的學習方法》（岩波書店，1987）、《幾何的魅力》（岩波書店，1991）（編者註：中譯本《幾何世界的邀請》，人民郵電出版社，2017）等。上述著作對日本數學教育產生了很大影響。更值得提出的是，小平邦彥作為數學家，不僅關心中小學數學教育，而且直接參與了中小學數學教育工作，他自己編寫了中學數學教科書《代數·幾何》（東京書籍，1982）和《基礎解析》（東京書籍，1982）。上世紀 80 年代初我國翻譯並出版了這些教科書，1996 年美國也翻譯出版了這些教科書。他的教科書有簡明扼要等特點。

《惰者集》

《幾何世界的邀請》

誠然，小平邦彥的數學教育思想的提出和教科書的編寫等活動都有著特殊的歷史背景：歐美、日本數學教育現代化運動和日本的中小學生學力降低等，激發了小平邦彥對數學教育的關注與參與。他的數學教育思想以及與數學教育家之間的爭論對我們今天的數學教育教學也具有重要的參考價值。

小平邦彥的數學教育思想

小平邦彥不僅對世界數學發展作出了傑出貢獻，而且對數學教育也有一定的研究，並提出了自己獨到的見解。

3.1 沒有創造能力的教育是很危險的

1984 年，小平邦彥以日本大學生學力下降的事實為切入點，對日本教育的發展提出了自己的見解。

小平邦彥指出：「所謂學力不是指知識的量，而是指獨立思考事物的能力。這種能力對於缺乏自然資源的日本來說是至關重要的。」（小平邦彥，《惰者集》）他認為，學生學力下降的根本原因可能在於，初等教育和中等教育階段過早地給學生灌輸多種學科的過多的知識。他指出：「例如從小學一年級開始教理科和社會科。由於過早地把多種學科教給學生，理論性的學科也被墮落為死記硬背的東西了，學生失去了自己思考的自由，這可能是學力下降的一個原因。」事實上，有些知識是孩提時期一定要學習的，有些知識是長大以後在理解的基礎上學習的。

但是不科學的教育政策讓兒童死記硬背成人的知識；於是大幅度地減少數學和語文的學習時間，浪費兒童的時間和精力。小平邦彥認為，數學和語文是最基本的學科，它們的性質與理科、社會科是截然不同的，應該安排更多的時間來教數學和語文，同時要減少其它社會科的教學時間，甚至在小學低年級不安排理科和社會科更合適，在小學五年級安排社會科和理科教學其效果更好。

3.2 以基礎學科為重點的課程設置原則

小平邦彥對人類學習的知識進行分類之後，提出了課程設置原則。他認為人類學習的知識可以分三個種類：

• （A）兒童時期必須要學習的知識，即長大以後學習起來困難的知識；

• （B）長大以後也容易學習的知識，或者說長大以後學習起來要比兒童時期更容易的知識；

• （C）即使是不在學校專門學習也能夠自然地掌握的知識。

由此可見，（A）是在小學必須要學習的知識，那就是數學和語文了，這就是把數學和語文作為小學基礎學科的根本原因。

基於上述分類及觀點，小平邦彥提出課程設置的兩條原則：

• 原則一，把在小學用充足的時間來徹底地教語文和數學作為第一目標，在剩餘時間裡教其它學科。從初中開始英語也成為基本學科。

• 原則二，學生到適當年齡後再教語文和數學以外的其它學科。

小平邦彥認為，給小學一二年級學生教理科和社會科是不符合他們年齡特徵的。基於以上原則，他對當時的學校教育制度提出了批評，認為爭先恐後地過早地教多種學科的做法是無視教育原則的體現。在中小學設置多種學科之後，各學科的教師為了擴大自己學科勢力範圍而互相競爭，結果導致語文、數學等基礎性理論學科的知識被變成死記硬背的東西，學生忙於背這些知識，從而喪失了獨立思考的時間，如果這樣的教育繼續下去，日本將會在國際競爭中遭到失敗，經濟發展也會停滯。

他認為在中等教育中，「在培養基礎學科的實力時，要用充足的時間來進行反覆練習是不可缺少的。」小平邦彥指出，不僅過早地教各種學科，而且在數學學科內部也存在不少問題。首先，過早地教很多知識的現象，如高等數學內容逐漸被降到高中，高中的高年級內容被降到它的低一年級等。其次，數學考試越來越難，在沒有掌握試題模式的情況下回答問題是相當困難的。例如，小平邦彥全力以赴做小學六年級的 50 分鐘的測試題，結果沒有能夠全部做出來。

訓練考試技巧的數學教育的特點就是：「調查了入學考試中要出的問題的模式之後，教給學生對某種模式的問題應該採用什麼方法來解答。學生在考試中，首先觀察問題的模式來判斷自己是否能夠解答，如果能解答就立即去解答；如果不能解答，由於時間不夠，因此連考慮都不用考慮就跳到下一個問題。……如果不是這樣，小學生不可能在限定時間內能夠解答連數學家都不能解答的問題的。」這種數學教育就像「給猴子教把戲一樣」沒有什麼創造性思維能力的培養。

基於以上論述，小平邦彥提出了一個重要問題，即現在這種「早期教育」比過去的傳統教育是否優越？

他對於教育制度的靈活化提出建議：學生的能力和個性等方面存在著千差萬別，因此基於這些差距，應該制定靈活的教育制度。例如，可以制定如下制度：

• 第一，根據各個學科的能力的不同來編制班級。某一學生是語文的 A 班級、數學的 C 班級；某一學生是語文的 C 班級、數學的 A 班級。這種班級編制能夠避免教育不公平的問題；

• 第二，允許學生跳級。即允許學習成績優異者可以跳高年級或提前參加大學入學考試。（一般地，日本教育法不允許學生跳級。）

• 第三，個別解決有特殊才能的學生，所謂特殊才能不局限於學問的才能，例如也包含音樂、繪畫等方面的才能。

3.3 固定的考試模式會抑制創造性思維的培養

小平邦彥認為，當時數學考試存在兩個方面的問題。首先，無論是中小學試題還是高考試題，其題目數量過大。這與過去不同，在過去的學校數學教育中，考試題的量不大，學生可以有充分的時間來思考。

其次，高考試題的「X〇」（註：只看結果的對錯，不看過程的考試題）形式嚴重影響了初等教育和中等教育，因為這種試題模式一直影響到小學數學教學，在過去的高考試題中沒有「X〇」形式的題，學生有充分的時間來思考，過去的學習是學問的學習。例如對於學習數學這個學問來說，理解了它之後才能解答數學問題。現在試題的模式基本上已經被固定了，被試題模式束縛的學生即使是上了大學也是未必真正理解了數學，這是一個奇怪的現象。

小平邦彥給本科生上課時進行了一次問卷調查，問學生「你們說聽不懂講課，那為什麼不能思考到理解為止呢？」某些學生回答說：「在中學階段我們常常是被動的，雖然自己沒有徹底理解但卻能解答問題，所以可能養成了不求甚解的思考習慣。」由此可見，大學生的學力下降的另一個原因就是，學校教育受高考影響已經被墮落為訓練考試技巧的教育了。

出現忽視上述教育原則的根本原因之一就是，人們認為「小孩是小型的大人」，即「小孩的能力就是大人能力的縮小而已。」 小平邦彥通過大人和小孩學習英語水平的差別等具體例子反駁了這種錯誤觀點。

小平邦彥對數學教育現代化運動的批判及其與教育界之間的激烈爭論

小平邦彥在不同場合和不少文章中，從數學學科的發展史、數學學科的特點和兒童的年齡特徵等角度對上世紀 60 年代的數學教育現代化運動提出了尖銳的批評。他對數學教育現代化的觀點集中體現在於 1967 年他在日本《通產雜誌》上發表的《不可理解的日本數學教育》中，那就是：

• （1）數學教育應按數學發展史順序進行，而不是按邏輯基礎來進行；

• （2）在中小學教集合論是不可取的；

• （3）在中小學數學教學中，要教基本的知識，沒有必要教多領域的知識；

• （4）在小學通過數的計算的反覆練習來培養學生數學的基本學力是最基本的。

為了更全面地了解他的思想，把該文的主要部分摘錄如下：

由於科學技術的基礎是數學，數學教育對於日本的產業的未來生存具有至關重要性。

在數學的初等教育中教各領域的少量知識，猶如讓學生學習音樂中的所有樂器和少量地教多種外語那樣的很沒用的知識。那為什麼在數學的情形下，誰也沒有注意到這種現象呢？例如，在小學六年級教一點機率，在初中二年級也教點機率，高中一二年級也教一些機率。這是沒有效果的教育方法。制定課程標準的委員會的各位成員，是否忘記了人在幾周、在一周內數小時來學習的知識過了一年半載之後會完全被忘掉的事實？

奇怪的是，在中小學教學中混進來了多種領域中的集合、位相幾何等知識，這些知識除將來成為數學家以外的學生來說都是沒有必要的。從小學開始教集合的理由就是因為數學的基礎是集合論，因此數學教育也應該從集合開始，這就是現代數學教育的基本理念。

但是，所謂數學基礎的集合論有以下含義：對 2000 多年前以來所發生髮展起來的數學的集大成的結構進行分析，並它把作為一個體系來記述的基礎就是集合論。這並不意味著發生髮展的基礎是集合論。給兒童教數學就是為了生成和發展兒童的數學能力，因此數學的初等教育必須遵循數學的歷史發展的順序。比起邏輯性的基本概念，歷史性地出現的概念，對兒童來說更容易理解。高中畢業之前的數學是在 17 世紀後半葉到 18 世紀發展起來的微積分初步。19 世紀後半葉，康托爾為了解決實數全體集合的無窮集合而創立了集合論。

違背這種歷史順序，即使給中學生教集合，兒童還是不易理解集合論的本質，所以只能給學生教的是集合論的沒有價值的部分——集合論的玩具了。其結果，為了教玩具的數學而浪費掉時間和精力，從而真正的數學被忽視了。

如數學這個詞所表示的那樣，它是數的學問，其基礎首先就是計算（運算）。在初等教育中最重要的區別是，若兒童時期不習得的話，長大之後不易掌握的基礎學力和長大之後更容易掌握的技能，並把基礎學力的訓練置於重要位置上。

如果兒童時期不能夠通過反覆練習掌握數的計算，那麼長大後不易掌握；數學家作為常識的必要的集合論，上大學後聽兩節課就會很容易記住它。從這個意義上看，在中小學教集合論是錯誤的。在小學數學中，關鍵的是通過反覆練習數的計算來培養數學的基礎學力。

推進現代化的人們認為，並不是在小學教集合論，而是根據集合論教現代數學的思考方法，除了成為數學基本思考能力的數的計算之外，還存在更高尚的數學的思考能力。我認為這種觀點是錯誤的。

據了解初中一年級學生有一成學生不會簡單的分數加減計算了。無論怎樣地教集合論也不會分數的計算，那究竟是怎麼回事呢？如果通過集合論的教學能夠培養學生思維能力的話，應該會分數的簡單計算吧。但是事實並非如此，這就證明了現代化的觀點是錯誤的。

數學家以外的人是不需要集合論的，在第一線活躍著的自然科學家和工程師都沒有學過集合論，這是明擺著的事實。

邏輯是數學的語法。我們寫文章時的語法是在多年讀、寫文章的過程中自然掌握的，而決不是根據在過去初中所學過的語法來寫，因此才能夠得心應手地使用。眾所周知，這與無論怎樣學習英語語法也不怎麼會寫英語文章一樣。

數學中的邏輯也是一樣，我們數學家在學習數學的過程中自然地掌握了邏輯。除數理邏輯學的專家以外，沒有人再回頭來學習邏輯的。從現行課程標準看，在高中一年級教邏輯，那為什麼把連數學家也沒有學過的邏輯教給高中生呢？這是不可理解的。

數學的初等教育的目的並不是把數學的各領域的片段知識灌輸給學生，而是要培養數學的思維能力和數學的感覺。正因為如此，必須把範圍限定在數學的最基本領域內，將它徹底地教給學生。如果能夠熟練使用小學的數的計算、初中的代數和幾何、高中的代數、幾何和微積分初步知識，那麼這種初等教育就是成功的。

有必要的時候學習機率統計等應用學科，因為這是即使長大以後也能學習，那時的學習與半生不熟的入門知識的學習相比，它對在基本領域中所養成的靈活的思維能力和敏銳的直覺能力所起的作用是更大的。……倡導數學教育現代化的人們認為，為了適應數學的迅速發展必須更新數學教育。但是進步的是數學的最前沿部分，而數學的基本東西一點也沒有變。正在從事數學研究的數學家們都反對數學教育的現代化。然而現代化在數學教育界還是很流行，這實在是個不可思議的現象。

小平邦彥的以上觀點得到了廣中平佑等數學家的贊同，同時也受到當時的不少在教學第一線的中小學數學教師們的歡迎（註：這些中小學數學教師並不是像小平邦彥那樣深刻認識數學和數學教育現代化，而是對現代數學的教學內容感到陌生而歡迎小平邦彥的觀點）[（日本數學教育學會編著J中學校數學教育史(下卷:數學教育研究團體及其活動).東京:教育出版株式會社，1988）]，但是在很大程度上遭到數學教育界的反對，甚至辯論是極其激烈的。

當時日本的《朝日新聞》、《每日新聞》、《讀賣新聞》和 NHK 電視台等媒體主持舉行反對數學教育現代化的討論，事實上，辯論的對象就是反對數學教育現代化的代表——日本大名鼎鼎的數學家小平邦彥和廣中平佑。很多數學教育研究者都對小平邦彥持反對的觀點。特別是日本數學教育家川口廷[川口廷:數學教育家，197-1981年，任日本數學教育學會長，1981年後任日本數學教育學會名譽會長、學術審議委員會委員等職務.1956-1978年，先後任日本文部省教材調查委員會委員、教育課程審議委員會委員]通過電視、報紙、雜誌等傳播媒體嚴厲地反駁了小平邦彥對數學教育現代化的指責。他說：「日本數學界精英的（小平邦彥）先生在很多雜誌上強調在小學數學中的『集合』無用論。

由於數學界的最高權威的先生們具有說服力，其影響是極其深刻的。我對此提出異議，不能接受他們的批評。……小平邦彥博士認為把集合論教給學生是非常錯誤的。我們能夠理解博士所指出的『現在小學數學是以康托爾創立的集合論的學習為教學目標是錯誤的。』但是我們不知道他這個判斷的根據是從那裡推導出來的呢？在課程標準和教科書中連一句也沒提到教集合論的要求，因此值得懷疑小平博士的判斷。

也許我的話有些失禮了，那就是博士的高論給人的感覺就是，您自己隨意地確定那種小學數學教學目標之後反過來自己進行攻擊它吧。」[川口廷自選集.教育·數學·文化]

川口認為，在小學數學教學中，值得注意的是以具體知識等為契機，形成數和圖形等概念時，從某種觀點觀察那些知識，對被認為相同的事物起共同的名稱，發現共同性質的教學指導。這種想法對知識的分類和整理的學習具有重要作用。在這種情形下，必須將集合作為思考對象，從某種觀點作集合來開展教學活動成為問題。

在這個意義上，不局限於數和圖形，對於小學數學中的各種概念的形成來說，著眼於集合的活動具有重要意義，但博士所說的「沒有價值的部分」是否指這樣的教學活動？當然在康托爾所想出來的集合論的學問體系中，這種教學活動是「最沒有價值的部分」。但是我們不能忘記了所議論的焦點是從 6 歲開始的兒童教育問題。

對於小平邦彥的關於不教集合，「徹底的計算訓練才是最重要」之主張，川口提出了嚴厲的批評。川口認為，計算訓練是重要的，學科教學都強調著技能的培養。他說：「但是博士所說的真正意思是，僅僅在形式上訓練多位數的四則計算等為最佳，而不重視其它內容的話，我是不敢恭維的。但是對於計算訓練的問題，進行抽象的議論也是無濟於事的。

具體地說，如果博士能夠具體地指出來在數學學科的課程標準中與計算有關的內容，哪些部分是有缺陷、應該強調哪些部分，那麼我會感到無比榮幸的。」當然，川口並不認為現行的數學教育沒有問題，他只對數學家從純粹數學角度出發過分指責數學教育的做法進行反駁而已。

由此可見，川口是針鋒相對地批評了小平邦彥。還有一些數學教育專家婉轉地批評小平邦彥。如，佐佐木元太郎教授對小平邦彥和廣中平佑提出批評說：「這兩位數學家的批評在很大程度上，誤解了我國數學教育現代化比英國還穩健地考慮之後才進行的實際情況。

另外，從製作課程標準者的方面看，忘記了二戰前從小學上中學的升學率不到百分之幾的事實。」[佐佐木元太郎著. 數學教育研究一數學教育思潮變遷，東京: 教育出版株式會社，1986]一言以蔽之，多數數學教育家對小平邦彥的言論不滿，都不同程度地提出了自己的觀點。

以上簡要介紹了小平邦彥的數學教育思想及圍繞日本數學教育現代化的爭論。這對我國目前的數學教育改革和數學教育研究都具有一定的啟發作用。首先，讓我們去思考我國的著名數學家關心參與數學教育研究的究竟有多少？

據筆者了解，日本著名數學家彌永昌吉[彌永昌吉:數論專家，日本學士院院士，1959年獲法國文化勳章，1976年任ICML主席.] 、藤田宏[藤田宏:計算數學和應用數學家.現任(日本)數學教育會會長.]教授等都格外關心數學教育，並主編或編寫的中學數學教科書影響頗大。其次，從研究方面來講，我們從數學家參與數學教育的層面，對中日或中外數學教育進行比較研究，也許得到更有意義的結果。

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《惰者集》+《幾何世界的邀請》

作者：[日]小平邦彥

出版社：人民郵電出版社 圖靈新知